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展开剩余78%例题 1：单调性与极值 / 最值问题（基础必练）题目：已知函数 \(f(x) = x^3 - 3x^2 - 9x + 2\)，求函数在区间 \([-2, 4]\) 上的单调性、极值和最值。解题步骤：求定义域：函数为多项式函数，定义域为 \(\mathbb{R}\)，区间 \([-2, 4]\) 在此范围内。求导化简：\(f'(x) = 3x^2 - 6x - 9 = 3(x^2 - 2x - 3) = 3(x - 3)(x + 1)\)。找导函数零点：令 \(f'(x) = 0\)，解得 \(x = -1\) 或 \(x = 3\)（均在区间 \([-2, 4]\) 内）。判断单调性：当 \(x \in [-2, -1)\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增；当 \(x \in (-1, 3)\) 时，\(f'(x) < 0\)，函数单调递减；当 \(x \in (3, 4]\) 时，\(f'(x) > 0\)，函数单调递增。求极值：极大值：\(f(-1) = (-1)^3 - 3(-1)^2 - 9(-1) + 2 = 7\)；极小值：\(f(3) = 3^3 - 3 \times 3^2 - 9 \times 3 + 2 = -25\)。求最值：计算区间端点值：\(f(-2) = (-2)^3 - 3(-2)^2 - 9(-2) + 2 = 0\)，\(f(4) = 4^3 - 3 \times 4^2 - 9 \times 4 + 2 = -18\)；比较极值和端点值：最大值为 7（\(x=-1\) 时）北京股票配资平台，最小值为 \(-25\)（\(x=3\) 时）。思路点拨：先求导因式分解，用零点划分区间判断单调性，极值看导数符号变化，最值需对比极值和区间端点值。例题 2：不等式恒成立问题（重点题型）题目：已知当 \(x > 0\) 时，不等式 \(x - \ln x - a \geq 0\) 恒成立，求实数 a 的取值范围。解题步骤：分离参数：由 \(x - \ln x - a \geq 0\) 得 \(a \leq x - \ln x\)（\(x > 0\)）。构造新函数：令 \(g(x) = x - \ln x\)，问题转化为 \(a \leq g(x)_{\min}\)。求 \(g(x)\) 的单调性：求导 \(g'(x) = 1 - \frac{1}{x} = \frac{x - 1}{x}\)。当 \(x \in (0, 1)\) 时，\(g'(x) < 0\)，\(g(x)\) 单调递减；当 \(x \in (1, +\infty)\) 时，\(g'(x) > 0\)，\(g(x)\) 单调递增。求最小值：\(g(x)\) 在 \(x=1\) 处取得最小值，\(g(1) = 1 - \ln 1 = 1\)。得出结论：\(a \leq 1\)，即实数 a 的取值范围为 \((-\infty, 1]\)。思路点拨：恒成立问题优先分离参数，转化为求函数最值，通过导数判断函数单调性进而求最值，避免直接解超越不等式。
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